ENSIKLOPEDIA MATEMATIKA 

Bangun Datar : bidang datar yang memiliki dua dimensi panjang dan lebar tetapi tidak memiliki tebal dan tinggi. Bangun datar biasa dibilang bangun Abstrak.

Persegi : bangun datar yang di betuk dari empat buah sisi yang sama panjang dan empat sudut yang sama besar 90°.

Persegi panjang : sebuah bangun datar yang mempunyai dua sisi yang berhadapan yang sama panjang dan memiliki empat titik sudut.

Segitiga : bangun datar yang di bentuk oleh tiga sisi berupa garis lurus dan memiliki tiga sudut. Segi tiga juga memiliki besar sudut 180°.

Jajaran genjang : bangun datar 2 dimensi yang mempunyai bentuk 2 pasang rusuk yang masing – masing sama panjang dan sejajar dengan pasangan dan memiliki 2 pasang sudut yang sama besar dengan sudut berhadapan.

Trapesium : bangun datar dua dimensi tang dibentuk oleh 4 rusuk diantara nya saling sejajar namun tidak sama panjang.

Belah ketupat : bangun datar yang mempunyai 2 sudut dimensi yang di bentuk oleh 4 rusuk yang sama panjang dan memiliki 2 pasang sudut yang masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya.

Layang-layang : bangun datar yang memiliki 2 dimensi dan 2 pasang rusuk yang masing-masing memiliki pasangan sama panjang dan saling membentuk sudut.

Lingkaran : himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu yang disebut dengan jari-jari dari suatu titik yang disebut dengan pusat.

Nilai Phi(π) :  panjang keliling dari sebuah lingkaran yang diameternya 1 satuan, besar nilai phi 3.14 atau 22/7.

Perbandingan (rasio) : salah satu teknik atau cara dalam membandingkan dua besaran.

Perbandingan senilai disebut juga sebagai proporsi. Perbandingan senilai melibatkan dua rasio yang sama.

Perbandingan senilai : jenis perbandingan dua variabel atau lebih yang suatu variabel bertambah, maka variabel yang lain juga bertambah.

Perbandingan berbalik nilai :  membandingkan dua buah objek atau lebih, apabila salah satu besaran nilainya semakin besar maka nilai besaran yang lain akan semakin kecil dan sebaliknya.

Koordinat Cartesius : sistem koordinat yang memuat angka-angka tertentu di setiap bidangnya yang ditulis dalam bentuk (x,y).

Statistika : ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang metode pengumpulan, pengolahan, penafsiran, hingga penarikan kesimpulan dari sebuah data yang berbentuk angka-angka.

Statistik : alat penting untuk membantu kita memahami data yang kompleks dan membuat keputusan berdasarkan informasinya.

Bilangan berpangkat (eksponen) : bilangan yang ditulis dalam bentuk pangkat. Bilangan tersebut menjadi dasar pangkat dan angka lainnya.

Akar merupakan bentuk penulisan suatu bilangan yang berada di dalam tanda akar (√).

Kesebangunan adalah istilah yang digunakan bila dua objek tersebut memiliki proporsi yang mirip satu sama lain. Jika dua bangun memiliki bentuk yang sama dan ukuran yang berbeda-beda maka dapat dikatakan sebangun. 

Sistem persamaan linear adalah sekumpulan persamaan linear yang terdiri dari beberapa variabel.

Persamaan Linear : salah satu persamaan dari ilmu aljabar di mana persamaan ini sukunya mengandung konstanta dengan variabel tunggal.

Variabel  : lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas.

Variabel disebut juga peubah, biasanya dilambangkan dengan huruf kecil   a, b, ... z.

Koefisien : bilangan yang memuat variabel dari suatu suku pada bentuk aljabar.

Suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel disebut konstanta.

Trigonometri : cabang ilmu dalam Matematika yang mempelajari hubungan antara sisi dan sudut pada segitiga.

Sinus atau bisa disingkat sin : adalah perbandingan antara panjang sisi di depan sudut dan panjang sisi miring. 

Kosinus atau biasa disebut cos : perbandingan antara panjang sisi di samping sudut dan panjang sisi miring. 

Tangen atau biasa disebut tan : perbandingan antara panjang sisi di depan sudut dan panjang sisi di samping sudut. 

Kosekan : perbandingan antara panjang sisi miring segitiga dan panjang sisi di depan sudut. Kosekan merupakan kebalikan dari sinus. 

Sekan : perbandingan antara panjang sisi miring segitiga dan panjang sisi di samping sudut. Sekan merupakan kebalikan dari kosinus.

Kotangen : perbandingan antara panjang sisi di samping sudut dan panjang sisi di depan sudut. kotangen merupakan kebalikan dari tangen.

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun berdasarkan baris dan kolom, serta ditempatkan di dalam tanda kurung.

Ukuran matriks disebut ordo. Ordo matriks ini berdasarkan dari banyaknya baris dikali banyaknya kolom pada matriks.

Masing-masing bilangan yang terdapat di dalam matriks disebut elemen matriks.

Turunan : suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel).

Turunan fungsi trigonometri : proses matematis untuk menemukan turunan pada suatu fungsi trigonometri ataupun tingkat perubahan terkait dengan suatu variabelnya.

Limit adalah suatu batas yang menggunakan konsep pendekatan fungsi.

Limit suatu fungsi : salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis , tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika.

integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada anti turunan.

BANGUN DATAR

 

Pengertian

Bangun datar adalah sebuah obyek benda dua dimensi yang dibatasi oleh garis-garis lurus atau garis lengkung. Karena bangun datar merupakan bangun dua dimensi, maka hanya memiliki ukuran panjang dan lebar oleh sebab itu maka bangun datar hanya memiliki luas dan keliling.

Rumus, Jenis, dan Sifat Bangun Datar

Macam-Macam Bangun Datar

Persegi

Persegi adalah bangun datar yang memiliki empat sisi dengan panjang yang seluruhnya sama.

Ciri-ciri bangun datar persegi antara lain:

• Memiliki 4 sisi yang sama panjang.
• Memiliki sudut-sudut yang sama besar, yaitu 90 derajat.
• Memiliki 2 diagonal yang sama panjang, berpotongan tegak lurus, dan membagi kedua sudut berhadapan menjadi sama besar.

Rumus Keliling dan Luas Persegi

Ketarangan:

s = sisi

Persegi Panjang

Persegi panjang adalah bangun segi empat yang memiliki dua pasang sisi sejajar dan sama panjang, serta memiliki empat sudut siku-siku.

Ciri-ciri persegi panjang antara lain:

• Sisi-sisi yang berhadapan mempunyai panjang yang sama.
• Kedua diagonalnya sama panjang dan berpotongan untuk saling membagi 2 sama panjang.
• Setiap sudutnya sama besar, yaitu 90 derajat.

Rumus Keliling dan Luas Persegi Panjang

Keterangan:

p = panjang

l  = lebar

Segitiga

Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga sisi, setiap sisinya bisa memiliki panjang yang sama maupun berbeda. 

Ciri-ciri segitiga antara lain:

• Terdiri dari 3 sisi garis lurus.
• Terdiri dari 3 titik di setiap sudutnya dengan total 180 derajat.
• Ada banyak jenis segitiga, yaitu segitiga siku-siku, segitiga sama sisi, segitiga sama kaki, dan segitiga sembarang.

Rumus Keliling dan Luas Segitiga

Keterangan:

s = sisi

a = alas

t= tinggi

 

Jajaran Genjang

Jajaran genjang adalah bangun datar yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya, serta memiliki dua pasang sudut bukan siku-suku yang masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya. 

Ciri-ciri jajaran genjang antara lain:

• Berbentuk segi empat.
• Tidak sempunyai simetri lipat dan simetri putar.
• Sisi-sisi yang berhadapan memiliki panjang yang sama.
• Sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
• Diagonal-diagonalnya berpotongan untuk saling membagi dua sama panjang.

Rumus Keliling dan Luas Jajaran Genjang

Keterangan:

s = sisi

a = alas

t= tinggi

 

Trapesium

Trapesium adalah bangun segi empat dengan sepasang sisi berhadapan sejajar. 

Ciri-ciri trapesium antara lain:

• Memiliki sepasang sisi yang panjangnya sama atau sejajar.
• Tiap pasang sudut yang sisinya sejajar adalah 180 derajat.
• Hanya memiliki 1 simetri putar.
• Memiliki 4 rusuk dan 4 titik siku.
• Memiliki diagonal yang sama panjang.
• Ada tiga jenis trapesium, yaitu trapesium siku-siku, trapesium sama kaki, dan trapesium sembarang.

Rumus Keliling dan Luas Trapesium

Keterangan:

s = sisi

a = sisi atas

b = sisi bawah

t= tinggi

Belah Ketupat

Belah ketupat adalah bangun datar yang dibentuk oleh empat rusuk yang sama panjang dan memiliki dua pasang sudut bukan siku-siku yang masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya. 

Ciri-ciri belah ketupat antara lain:

• Mempunyai 4 sisi dengan panjang yang sama.
• Mempunyai 4 sudut dengan besar yang sama.
• Mempunyai 4 titik sudut.
• Sisinya tidak tegak lurus.
• Mempunyai 2 diagonal yang berbeda panjangnya.

Rumus Keliling dan Luas Belah Ketupat

 

Keterangan:

s = sisi

d₁ = diagonal 1

d₂ = diagonal 2

 

Layang-Layang

Layang-layang adalah bangun datar yang dibentuk oleh dua segitiga sama kaki yang alasnya sama panjang dan saling berhadapan. 

Ciri-ciri layang-layang antara lain:

• Mempunyai sisi-sisi yang berdekatan sama panjang.
• Mempunyai sepasang sudut yang berhadapan sama besar.
• Kedua diagonalnya tegak lurus berpotongan dan salah satunya membagi 2 sama panjang bagian layang-layang.

Rumus Keliling dan Luas Layang-Layang

Keterangan:

s = sisi

d₁ = diagonal 1

d₂ = diagonal 2

 

Lingkaran

Lingkaran adalah kumpulan dari titik-titik yang membentuk suatu lengkungan yang memiliki panjang yang sama terhadap satu titik tertentu. 

Ciri-ciri lingkaran antara lain:

• Memiliki simetri lipat dan simetri putar yang jumlahnya tak terhingga.
• Mempunyai 1 titik pusat.
• Jumlah derajat lingkaran sebesar 360 derajat.

Rumus Keliling dan Luas Lingkaran

Keterangan:

π = phi (22/7 atau 3,14)

d = diameter lingkaran

r = jari-jari lingkaran

 

 

 

 

 

 

 

 INTEGRAL TENTU

Apa Itu Integral Tentu?

Seperti biasa, sebelum gue membahas mengenai rumus integral tentu. Kita akan kenalan dulu sama pengertian dari integral tentu. 

Dari namanya udah jelas ada kata “tentu”, berarti integralnya udah ditentukan dong? Bener kan? Apa gimana sih?

Yap, betul. Jadi, pengertian dari integral tentu adalah integral yang udah ditentukan nilai awal dan akhirnya, ada rentang a-b. Nah, a-b merupakan batas atas dan bawah.

Kalau di integral tak tentu, bentuknya seperti ini:

Sehingga, grafik yang digambarkan dari integral tak tentu akan seperti ini.

 

Sedangkan, untuk integral tentu atau definite integral yang udah diketahui batas a dan b-nya, maka bentuk integralnya seperti di bawah ini:

Nah, karena batasnya udah diketahui, maka grafik integral tentu ini bisa digambarkan sebagai berikut:

Sifat Integral Tentu

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 

Nah, sifat-sifat di atas gak perlu elo hafalkan, yang penting elo paham konsep dari integral tentu. 
Kenapa harus paham? Karena, sifat-sifat inilah yang nantinya akan memudahkan elo dalam menyelesaikan kasus definite integral.

Rumus Integral Tentu dan Cara Menghitung Integral

Setelah elo tau seperti apa konsep dan sifat dari integral tentu, maka elo perlu tau gimana sih rumus integral tentu dan cara menghitungnya.

Pertama-tama coba elo perhatikan rumus integral tentu di bawah ini!

Integral dari f(x) terhadap dx dari b sampai a adalah F(a) dikurangi F(b). Dengan F'(x) adalah fungsi yang turunannya bernilai f(x) Hasil dari definite integral adalah suatu angka yang pasti.

Contoh Soal Integral Tentu
Bisa dibilang, Sobat Zenius sudah mempelajari keseluruhan materi integral kelas 12, mulai dari pengertian, sifat, hingga rumusnya.
Nah, untuk menguji pemahaman elo, gue ada beberapa contoh soal integral tentu yang bisa Sobat Zenius pelajari.

Contoh Soal 1

Tentukanlah 

Jawab:
Kita memiliki fungsi f(x) = 3x².
Dengan definite integral, maka kita akan memperoleh  (kalau integral tak tentu harus ditambah C, sedangkan integral tentu gak ditambah C).

Lalu, kita substitusikan batas atas dan bawahnya ke dalam hasil f(x) = x³.

Batas atas = 2 –> f(2) = 2³ = 8.

Batas bawah = 1 –> f(1) = 1³ = 1.

Maka   = f(2) – f(1) = 8 – 1 = 7.

Contoh Soal 2

Kita lanjut ke contoh soal integral tentu yang kedua.

Tentukanlah 

Jawab:

Dengan menggunakan rumus axⁿdx dan langsung disubstitusi batas atas dan bawahnya, maka diperoleh hasil sebagai berikut:

Jadi, hasil dari  adalah  26/3

TRIGONOMETRI  

Trigonometri, berasal dari bahasa Yunani trigonon = “tiga sudut”, metron = “mengukur” merupakan cabang matematika yang mempelajari hubungan antara panjang dan sudut segitiga. Bidang ini muncul pada periode Helenistik abad ke-3 SM, dimulai dari penggunaan geometri hingga mempelajari astronomi.

Pada abad ke-3 M, para astronom pertama kali mencatat hubungan antara panjang sisi dan segitiga siku-siku antara masing-masing sisi: Di ​​sini, jika setidaknya satu dari panjang sisi dan salah satu nilai sudut diketahui, maka Anda bisa lewat Algoritma untuk menentukan semua sudut dan panjang.

Perhitungan ini didefinisikan sebagai fungsi trigonometri dan saat ini berada dalam matematika murni dan bagian matematika terapan: misalnya, melalui berbagai aplikasi seperti fisika, teknik, dll.

Fungsi trigonometri digunakan untuk menganalisis fenomena yang terkait dengan lingkaran untuk dianalisis seperti transformasi Fourier atau gelombang Persamaan dan metode dasar lainnya termasuk mekanika dan listrik, musik dan akustik, astronomi dan biologi.

Turunan Trigonometri

Turunan dari fungsi trigonometri adalah proses matematika untuk menemukan turunan dari fungsi trigonometri atau laju perubahan yang terkait dengan variabel. Misalnya turunan f (x) dituliskan f ‘(a) yang berarti laju perubahan fungsi pada titik a. Fungsi trigonometri yang umum digunakan adalah sin x, cos x, tan x.

Turunan dari fungsi trigonometri diperoleh dari batas fungsi trigonometri. Karena turunannya adalah bentuk batas khusus. Berdasarkan hal tersebut, diperoleh rumus turunan fungsi trigonometri sebagai berikut:

 

Pengertian Trigonometri

Trigonometri adalah bagian dari matematika, yang mempelajari hubungan antara sisi dan sudut segitiga serta fungsi dasar yang ditimbulkan oleh hubungan tersebut. Trigonometri adalah nilai perbandingan yang ditentukan dalam koordinat Kartesius atau segitiga siku-siku.

Trigonometri itu sangat penting dalam kehidupan, karena dengan mempelajari trigono metri, Anda bisa mengukur jarak bintang di langit tanpa harus menempuh perjalanan ke sana. Kemudian, dengan menggunakan rumus segitiga, Anda dapat dengan mudah mengukur sudut ketinggian tebing tanpa harus mendaki tebing, dan anda dapat dengan mudah mengukur lebar sungai tanpa harus menyeberangi sungai.

Rumus Trigonometri

Dalam trigonometri, memiliki tiga fungsi, yang pertama adalah fungsi sinus, yaitu perbandingan sudut antara sisi segitiga dan sisi miring (segitiga siku-siku-segitiga siku-siku atau segitiga dengan sudut 90 °), lalu yang kedua fungsi trigono metri tersebut adalah cosinus atau cosinus, yaitu perbandingan sisi-sisi segitiga yang memotong sisi miring, dan fungsi trigono metri dasar matematika ketiga adalah garis singgung, yaitu garis singgung rasio sisi depan segitiga dengan sudut segitiga.

Rumus Fungsi Trigonometri Matematika

Rumus Identitas Trigonometri Matematika

Rumus Jumlah dan Selisih Sudut Trigonometri

Rumus Perkalian Trigonometri Matematika

Rumus Jumlah dan Selisih Trigonometri

Rumus Sudut Rangkap Dua dan Tiga Trigonometri

Rumus Setengah Sudut Trigonometri

Tabel Trigonometri

Berbicara soal segitiga tentunya tidak jauh dari tabel segitiga, dalam hal ini akan membantu menyelesaikan berbagai nilai trigono metri dari satu sudut. Nilai trigono metri itu sendiri meliputi sinus, kosinus dan garis singgung.

Sinus adalah perbandingan sisi dengan sisi miring segitiga di sudut. Kosinus (cos) adalah rasio sisi segitiga dengan sisi miring dan garis singgung (tan) adalah rasio sisi segitiga di depan sudut dengan sisi segitiga di sudut.

Semua -sin cos dan tan ini hanya berlaku untuk segitiga siku-siku atau segitiga 90 derajat, keduanya berperan dalam perhitungan sudut bentuk pencarian, terutama sudut khusus dari segitiga dasar.

Sudut khusus sendiri merupakan sudut dengan rasio trigono metri, dan sudut tersebut dapat ditentukan tanpa menggunakan tabel atau kalkulator. Sudut yang dimaksud adalah 0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 °. Inilah nilai perbandingan triangulasi sudut khusus (kuadran I)

Nah, bagi yang masih suka masih menemui kendala saat menjawab soal-soal yang berkaitan dengan rumus dan persamaan trigono metri, berikut adalah tabel lengkap penjumlahan sinus dari semua sudut yang dibentuk lingkaran lengkap atau biasa disebut lingkaran 360º Kosinus.

Tabel Sin Cos Tan Kuadran II

Tabel Sin Cos Tan Kuadran III

Tabel Sin Cos Tan Kuadran IV

Limit Trigonometri

Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menghitung limit trigono metri yaitu metode konvensional dan metode super. Metode yang biasa dilakukan adalah menggunakan aturan dasar rumus dasar untuk menyelesaikan batas fungsi trigono metri. Menyelesaikan aturan dasar ini biasanya membutuhkan lebih banyak waktu, dan siswa sering membuat kesalahan. Metode super adalah dengan menggunakan rumus Solusi untuk menyelesaikan batas segitiga. Ada beberapa jenis batasan untuk menggunakan fungsi triangulasi ini:

Tipe 1: Ia bekerja dalam bentuk pembagian aljabar dengan fungsi trigonometri sinus dan garis singgung.

Tipe 2: Fungsi yang dibagi dalam bentuk antara fungsi sinus dan fungsi tangen.

Tipe 3: Fungsi pembagian antara perkalian fungsi sinus dan kosinus.

Cara biasa (rumus dasar limit fungsi trigonometri)

Fungsi Sinus

Fungsi Cosinus

Fungsi Tangen

Rumus Super

Tipe 1: Hubungan Sinus dan Tangen

Tipe 2: Perkalian Sinus dan Tangen

Tipe 3: Hubungan Cosinus dan Sinus  

Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan sudut-sudut trigono metri yang berbentuk x. Solusi dari persamaan ini adalah mencari semua sudut x sehingga persamaan tersebut berlaku untuk asal tertentu. Menyelesaikan persamaan trigono metri dalam derajat dari 0 sampai 360 atau radian dari 0 sampai 2π.

Persamaan trigonometri dapat berisi penjumlahan atau selisih sinus atau kosinus. Untuk mengatasinya, Anda dapat mengubahnya menjadi persamaan yang menyertakan perkalian sinus atau kosinus. Begitu pula jika dihadapkan pada situasi sebaliknya.

Perbandingan Trigonometri

Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri adalah fungsi yang menggunakan trigonometri. Kita tahu bahwa fungsi ini terdiri dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri. Dalam fungsi trigono metri ini tentunya kita akan menggunakan aturan trigono metri. Seperti aturan sin, cos, dan tan.

 

Sifat Trigonometri

Sifat-sifat persamaan trigonometri sederhana untuk sinus, cosinus, dan tangen adalah sebagai berikut :

sin x = sin p

cos x = cos p

tan x = cos p